ObrazovanieRussia.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x1 + x2 = -p,    x1 · x2 = q.

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x2 + px + q = 0,

то его корни равны:

теорема виета 8 класс,

где  D = p2 - 4q.  Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

формула виета для квадратного уравнения,

а теперь найдём их произведение:

формулы Виета

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x1 + x2 = -p,

x1 · x2 = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю  (D = 0),  то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна  -p,  а их произведение равно  q,  то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x2 + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано  x1 + x2 = -p,  значит,  x2 = -p - x1.  Подставим это выражение в равенство  x1 · x2 = q,  получим:

x1(-p - x1) = q;

-px1 - x12 = q;

x12 + px1 + q = 0.

Это доказывает, что число  x1  является корнем уравнения   x2 + px + q = 0.  Точно так же можно доказать, что и число  x2  является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x2 - 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

x1 + x2 = -(-3) = 3;

x1 · x2 = 2;

очевидно, что корни равны  1  и  2:

1 + 2 = 3;

1 · 2 = 2.

Подставив числа  1  и  2  в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

12 - 3 · 1 + 2 = 0

и

22 - 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ:  1,  2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x2 + 8x + 15 = 0.

Решение:

x1 + x2 = -8;

x1 · x2 = 15.

Методом подбора находим, что корни равны  -3  и  -5:

-3 + -5 = -8;

-3 · -5 = 15.

Ответ:  -3,  -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x1 = -3,    x2 = 6.

Решение: Так как  x1 = -3,  x2 = 6  корни уравнения  x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3;

q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение:

x2 - 3x - 18 = 0.

Ответ:  x2 - 3x - 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x1 = 2,    x2 = 3.

Решение:

p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5;

q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6.

Ответ:  x2 - 5x + 6 = 0.