ObrazovanieRussia.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Разложение способом группировки

Способ группировки — это способ разложения многочлена на множители, применяемый в тех случаях, когда члены многочлена не имеют общего множителя. Разложение способом группировки проходит в три этапа:

  1. Группируем с помощью скобок члены многочлена, имеющие общий множитель.
  2. Выносим общий множитель каждой группы за скобки.
  3. Выносим за скобки общий множитель всех получившихся произведений. В данном случае общий множитель будет многочленом.

Рассмотрим многочлен:

x2 + ax + bx + ab.

Его члены не имеют общего множителя, но мы можем сгруппировать их так, чтобы в каждой отдельной группе был общий множитель, который можно будет вынести за скобки:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) = x(x + a) + b(x + a).

Каждое получившееся произведение имеет общий множитель  x + a,  который теперь тоже можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b).

Таким образом:

x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b).

Заметим, что можно сгруппировать слагаемые иначе:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b).

В обоих случаях группировки мы пришли к тому, что в нашем выражении появился общий многочленный множитель, который можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b);

x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a).

Обратите внимание, что разница в начальной группировке членов не повлияла на результат разложения многочлена на множители.

Примеры разложения многочлена на множители

Пример 1. Представьте выражение в виде произведения:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b);

б) x(x + y) + (x + y).

Решение:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b) = (a - b)(2a + 3b);

б) x(x + y) + (x + y) = (x + y)(x + 1).

Пример 2. Разложите на множители:

а) 3x + 3y + z(x + y);

б) 2(a + b) + ac + bc.

Решение:

а) 3x + 3y + z(x + y) = (3x + 3y) + z(x + y) = 3(x + y) + z(x + y) = (x + y)(3 + z);

б) 2(a + b) + ac + bc = 2(a + b) + (ac + bc) = 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c).