ObrazovanieRussia.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Действия с рациональными числами

Сложение

При сложении двух рациональных чисел с одинаковым знаком складываются их модули и перед суммой ставится их общий знак.

Пример 1. Найти сумму рациональных чисел  2,5  и  3,2.

Решение: Так как модуль положительного числа равен самому числу, то в данном примере числа можно просто сложить:

2,5 + 3,2 = 5,7.

Пример 2. Найти сумму отрицательных чисел  (-2,5)  и  (-3,2).

Решение: Сначала надо сложить модули слагаемых:

2,5 + 3,2 = 5,7.

Так как сумма двух отрицательных чисел должна быть отрицательным числом, то решение будет выглядеть так:

(-2,5) + (-3,2) = -5,7.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух рациональных чисел с разными знаками нужно взять их модули и из большего вычесть меньший. В результате ставится знак того числа, у которого модуль больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Примеры:

(-4,7) + (+12) = 7,3,  так как  12 - 4,7 = 7,3;

9 + (-15) = -6,  так как  15 - 9 = 6.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками, может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Примеры:

125 + (-125) = 0;

-34 + (+34) = 0.

Вычитание

Вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением. При этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое – с противоположным.

Примеры:

(+10) - (+3,4) = (+10) + (-3,4) = 6,6;

(+10) - (-3,4) = (+10) + (+3,4) = 13,4;

(-10) - (-3,4) = (-10) + (+3,4) = -6,6;

(-10) - (+3,4) = (-10) + (-3,4) = -13,4.

Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Умножение

При умножении двух рациональных чисел умножаются их модули. Перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.

Примеры:

3 · 5 = 15;

3 · (-5) = -15;

-3 · 5 = -15;

-3 · (-5) = 15.

Ниже представлена схема (правило знаков при умножении):

+  ·  +  =  +
+  ·  -  =  -
-  ·  +  =  -
-  ·  -  =  +

Из данных примеров следует, что в результате умножения двух чисел с разными знаками получится отрицательное число, а результате умножения двух чисел с одинаковыми знаками – положительное.

При умножении любого числа на  -1  получится число, противоположное данному.

Примеры:

-1,5 · (-1) = 1,5;

2,5 · (-1) = -2,5.

Деление

При делении одного рационального числа на другое делят модуль первого числа на модуль второго. Перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные.

Примеры:

15 : 5 = 3;

15 : (-5) = -3;

-15 : 5 = -3;

-15 : (-5) = 3.

При делении используется то же правило, что и для умножения. Ниже представлена схема (правило знаков при делении):

+  :  +  =  +
+ : - = -
- : + = -
- : - = +

Из данных примеров следует, что частное двух чисел с разными знаками – отрицательное число, а частное двух чисел с одинаковыми знаками – положительное число.

При делении любого числа на  -1  получится число, противоположное данному.

Примеры:

-1,5 : (-1) = 1,5;

2,5 : (-1) = -2,5.