ObrazovanieRussia.ru
Введение Плоскость Сравнение геометрических фигур Геометрическая точка Периметр и площадь Линии Виды линий Прямая линия Луч Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Признаки и свойства параллельных прямых Отрезок Сумма и разность отрезков Ломаная линия Углы Угол Измерение углов Сравнение углов Виды углов Смежные и вертикальные углы Углы при пересечении двух прямых Треугольники Треугольник Виды треугольников Сумма углов Внешние углы Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Периметр и площадь Окружность и круг Окружность Касательная и секущая Касание окружностей Центральный угол Вписанный угол Круг Длина окружности Многоугольники Описание Сумма углов Четырёхугольники Описание и виды Прямоугольник Периметр квадрата, прямоугольника и ромба Площадь прямоугольника и квадрата Параллелограмм Трапеция

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если   ∠A = 90°, то   a2 + b2 = c2.

теорема Пифагора

Доказательство:

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами  a,  b  и гипотенузой  c:

теорема Пифагора для треугольника

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной  a + b:

теорема Пифагора доказательство

Площадь данного квадрата  S  будет равна  (a + b)2:

S = (a + b)2.

С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов  (ab : 2),  и квадрата со стороной  c,  поэтому:

S = (a + b)2

или

S = 4 · (ab)  + c2 = 2ab + c2
2

Таким образом:

(a + b)2 = 2ab + c2.

Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

то для того, чтобы наше равенство было верным  c2  должен быть равен  a2 + b2.  Таким образом,

(a + b)2 = 2ab + c2,   где   c2 = a2 + b2.

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если  a2 + b2 = c2,  то треугольник  ABC  — прямоугольный.

теорема Пифагора прямая и обратная

Доказательство:

Возьмём треугольник  ABC  со сторонами  a,  b  и  c,  у которого  c2 = a2 + b2.  Докажем, что  ∠A = 90°:

теорема обратная теореме Пифагора 8 класс

Рассмотрим прямоугольный треугольник  A1B1C1  с прямым углом  A1,  у которого  A1B1 = a   и   A1C1 = b:

доказать теорему обратную теореме Пифагора

По теореме Пифагора:

B1C12A1B12 +  A1C12.

Значит  B1C12 = a2 + b2.  Но  a2 + b2 = c2  по условию теоремы. Следовательно  B1C12 = c2,  откуда можно сделать вывод  B1C1 = c.

Треугольники  ABC  и  A1B1C1  равны по трём сторонам, поэтому  ∠A = ∠A1 = 90°,  то есть треугольник  ABC  является прямоугольным. Теорема доказана.