Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен используется распределительное свойство умножения:

a(b + c) = ab + ac,

правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

a^x · a^y = a^{x + y}

и правило знаков при умножении.

Произведением одночлена и многочлена будет многочлен.

Пример 1. Умножить одночлен -5a на многочлен 3a + 4b².

Решение: Составим произведение одночлена и многочлена и с помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки:

алгебра 7 класс умножение одночлена на многочлен

Теперь осталось выполнить умножение одночленов друг на друга:

-5a · 3a + (-5a) · 4b² = -15a² - 20ab².

Так как в получившемся результате нет подобных членов, то многочлен -15a² - 20ab² — это окончательный результат умножения одночлена -5a на многочлен 3a + 4b².

Пример 2. Выполните умножение многочлена x - xy + 2 на одночлен 2y.

Решение: Составим произведение многочлена и одночлена:

(x - xy + 2)2y.

Для удобства можно записать одночлен перед многочленом, используя переместительное свойство умножения. После этого раскроем скобки:

правило умножения одночлена на многочлен

Теперь надо перемножить одночлены:

2y · x - 2y · xy + 2y · 2 = 2xy - 2xy² + 4y.

Решение данного примера можно записать короче, не выписывая промежуточные результаты:

(x - xy + 2)2y = 2xy - 2xy² + 4y.

Пример 3. Упростите выражение:

3x² - x(4x - 6y).

Решение: Раскроем скобки, выполнив умножение -x на 4x - 6y, и затем сделаем приведение подобных членов (если они будут):

3x² - x(4x - 6y) = 3x² - 4x² + 6xy = -1x² + 6xy.

Так как получившийся в результате многочлен является алгебраической суммой, то его можно записать так:

6xy - 1x².