Введение Плоскость Сравнение геометрических фигур Геометрическая точка Периметр и площадь Линии Виды линий Прямая линия Луч Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Признаки и свойства параллельных прямых Отрезок Сумма и разность отрезков Ломаная линия Углы Угол Измерение углов Сравнение углов Виды углов Смежные и вертикальные углы Углы при пересечении двух прямых Треугольники Треугольник Виды треугольников Сумма углов Внешние углы Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Периметр и площадь Окружность и круг Окружность Касательная и секущая Касание окружностей Центральный угол Вписанный угол Круг Длина окружности Многоугольники Описание Сумма углов Четырёхугольники Описание и виды Прямоугольник Периметр квадрата, прямоугольника и ромба Площадь прямоугольника и квадрата Параллелограмм Трапеция

Теорема Пифагора

• Обратная теорема Пифагора

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если   ∠A = 90°, то   a² + b² = c².

Доказательство:

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами  a,  b  и гипотенузой  c:

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной  a + b:

Площадь данного квадрата  S  будет равна  (a + b)²:

S = (a + b)².

С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов  (ab : 2),  и квадрата со стороной  c,  поэтому:

S = (a + b)²

или

S = 4 · (	ab	)  + c2 = 2ab + c2
	2

Таким образом:

(a + b)² = 2ab + c².

Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

то для того, чтобы наше равенство было верным  c²  должен быть равен  a² + b².  Таким образом,

(a + b)² = 2ab + c²,   где   c² = a² + b².

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если  a² + b² = c²,  то треугольник  ABC  — прямоугольный.

Доказательство:

Возьмём треугольник  ABC  со сторонами  a,  b  и  c,  у которого  c² = a² + b².  Докажем, что  ∠A = 90°:

Рассмотрим прямоугольный треугольник  A₁B₁C₁  с прямым углом  A₁,  у которого  A₁B₁ = a   и   A₁C₁ = b:

По теореме Пифагора:

B₁C₁² =  A₁B₁² +  A₁C₁².

Значит  B₁C₁² = a² + b².  Но  a² + b² = c²  по условию теоремы. Следовательно  B₁C₁² = c²,  откуда можно сделать вывод  B₁C₁ = c.

Треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  равны по трём сторонам, поэтому  ∠A = ∠A₁ = 90°,  то есть треугольник  ABC  является прямоугольным. Теорема доказана.