Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Неравенства с одной переменной

• Равносильные неравенства
• Решение неравенств

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b     или     ax < b.

Где  x  — это переменная,  a  — коэффициент, а  b  — свободный член.

Если  a > 0,  то, разделив обе части неравенства на  a,  получим:

x >	b	или     x <	b	.
	a		a

Данные неравенства и определяют все значения переменной  x,  при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

если   x ⩾	b	, то   x ∈ [	b	; +∞)
	a		a

или

если   x ⩽	b	, то   x ∈ (-∞;	b	]	.
	a		a

Если  a < 0,  то, разделив обе части неравенства

ax > b     или     ax < b

на  a  и поменяв в них знак на противоположный, получим:

x <	b	или     x >	b	.
	a		a

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если  a = 0,  тогда неравенство примет вид:

0 · x > b     или     0 · x < b.

В первом случае:

0 · x > b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Во втором случае:

0 · x < b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Равносильные неравенства

Равносильные неравенства — это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:

1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Решение неравенств

Решить неравенство с одной переменной — это значит, найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных — в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства);
• приведение подобных членов;
• деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной.