Введение Плоскость Сравнение геометрических фигур Геометрическая точка Периметр и площадь Линии Виды линий Прямая линия Луч Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Признаки и свойства параллельных прямых Отрезок Сумма и разность отрезков Ломаная линия Углы Угол Измерение углов Сравнение углов Виды углов Смежные и вертикальные углы Углы при пересечении двух прямых Треугольники Треугольник Виды треугольников Сумма углов Внешние углы Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Периметр и площадь Окружность и круг Окружность Касательная и секущая Касание окружностей Центральный угол Вписанный угол Круг Длина окружности Многоугольники Описание Сумма углов Четырёхугольники Описание и виды Прямоугольник Периметр квадрата, прямоугольника и ромба Площадь прямоугольника и квадрата Параллелограмм Трапеция

Признаки равенства треугольников

• Первый признак равенства треугольников
• Второй признак равенства треугольников
• Третий признак равенства треугольников
• Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AB = A₁B₁,  AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁B₁  совместилась со стороной  AB,  то точка  B  совместится с точкой  B₁,  так как  A₁B₁ = AB.  Сторона  A₁C₁  совместится со стороной  AC,  так как  ∠A = ∠A₁.  Точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Стороны  B₁C₁  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁  и  ∠C = ∠C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁C₁  совместилась со стороной  AC,  то точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Сторона  A₁B₁  совпадёт со стороной  AB,  так как  ∠A = ∠A₁.  Сторона  C₁B₁  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C₁.  Вершина  B₁  совпадёт с вершиной  B,  так как  B  и  B₁  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  AC = A₁C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A₁,  вершина  C  — с  C₁, а вершины  B  и  B₁  оказались по разные стороны от прямой  AC.

Соединив точки  B  и  B₁,  получим два равнобедренных треугольника  BAB₁  и  BСB₁.

В треугольнике  BAB₁  ∠1 = ∠4,  в  BСB₁  ∠2 = ∠3  (как углы при основании). Следовательно,

∠1 + ∠2 = ∠4 + ∠3,  поэтому  ∠ABC = ∠AB₁C.

Итак,  AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Из этого следует, что треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.