ObrazovanieRussia.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Пропорциональное деление

Пропорциональное деление — деление какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.

Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.

Деление числа на пропорциональные части

Пример 1. Разделить число  50  на части пропорционально числам  2  и  3.

Решение: Надо найти такие два слагаемых числа  50,  которые будут относиться друг к другу так, как  2:3.  Первое слагаемое должно содержать  2  части числа, а второе  3,  значит, число  50  содержит  5  таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:

50 : 5 = 10.

Число  10  — одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число  50:

10 · 2 = 20;

10 · 3 = 30.

Ответ:  2:3 = 20:30.

Пример 2. Разделить число  90  на три слагаемых пропорционально числам  1,  2  и  3.

Решение:

90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15;

1 · 15 = 15;

2 · 15 = 30;

3 · 15 = 45.

Ответ:  1:2:3 = 15:30:45.

Длинные отношения вида  1:2:3  называются сложными. Сложные отношения — это условные записи, показывающие, сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.

Пример. Разделить число  66  на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как  3:2,  а вторая к третьей, как  5:4.

Решение:

Первый способ: обозначим искомые части буквами  a,  b  и  c.  Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на  5,  а второго на  2:

a:b = 3:2 = 15:10;

b:c = 5:4 = 10:8;

значит  a:b:c = 15:10:8.  Так как  15 + 10 + 8 = 33,  то

a = (66 : 33) · 15 = 30;

b = (66 : 33) · 10 = 20;

c = (66 : 33) · 8 = 16.

Второй способ: обозначим искомые части буквами  a,  b  и  c:

a:b = 3:2;

b:c = 5:4.

Если первая часть  a  равна  3,  вторая  b  равна  2,  то третью часть  c  можно определить из пропорции:

2:c = 5:4.

Следовательно,  c  равно:

c =  2 · 4  =  8 ,
55

поэтому

a:b:c = 3:2:8 .
5

Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:

a:b:c = 15:10:8,

так как 15 + 10 + 8 = 33, то

a = (66 : 33) · 15 = 30;

b = (66 : 33) · 10 = 20;

c = (66 : 33) · 8 = 16.

Деление на части, обратно пропорциональные числам

Пример. Разделить число  62  на три части обратно пропорционально числам  2,  3  и  5,  то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как

1:1:1 .
235

Решение: Обозначим искомые части буквами  a,  b  и  c.  Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:

a:b:c = 1:1:1 = 15:10:6 = 15:10:6,
235303030

так как  15 + 10 + 6 = 31,  то

a = (62 : 31) · 15 = 30;

b = (62 : 31) · 10 = 20;

c = (62 : 31) · 6 = 12.