Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Равносильные уравнения

• Преобразование уравнений

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

x² + 2 = 3x

и

x² - 3x + 2 = 0

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2  и  1  — это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

x² + 5 = 9

можно преобразовать в такое:

5 + x² = 9.

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

2x + 3x = 15,

заменив его равносильным уравнением

5x = 15.

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение  x - 5 = 7.  Прибавив к обеим частям уравнения число  5

x - 5 + 5 = 7 + 5,

получим уравнение  x = 12.  Если в уравнение  x - 5 = 7  вместо  x  подставить число  12,  то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число  5,  мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести три следствия:

1. Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).

   Возьмём уравнение  x + 13 = 10 + 13.  Отняв от обеих частей по  13,  получим

   x = 10.

2. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

   Рассмотрим уравнение  5x - 4 = 12 + x.  Прибавим к обеим частям уравнения по  4:

   5x - 4 + 4 = 12 + x + 4.

   Получим:

   5x = 12 + x + 4,

   то есть член  4  перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения  5x - 4 = 12 + x  по  x:

   5x - 4 - x = 12 + x - x.

   Получим:

   5x - 4 - x = 12,

   то есть член  x  перешёл в другую часть с обратным знаком.

3. Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.

   Перенесём все члены левой части уравнения  5x - 4 = 12 + x  в правую, а все члены правой в левую:

   -12 - x = -5x + 4.

   И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:

   -5x + 4 = -12 - x,

   то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.

   Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на  -1.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение  3x = 12.  Разделив обе части уравнения на число  3:

3x : 3 = 12 : 3,

получим уравнение  x = 4.  Если в уравнение  3x = 12  вместо  x  подставить число  4,  то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на  3,  мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести два следствия:

1. Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом, упростив его.

   Возьмём уравнение  16x + 8 = 40.  Разделив все члены на общий множитель  8,  получим:

   2x + 1 = 5.

2. Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.

   Возьмём уравнение:

   x +	12 - x	=	26 - x	.
   	4		2

   После приведения всех членов к общему знаменателю получим:

   4x	+	12 - x	=	2(26 - x)	.
   4		4		4

   Теперь, умножив все члены уравнения на  4,  или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:

   4x + 12 - x = 2(26 - x).