Введение Плоскость Сравнение геометрических фигур Геометрическая точка Периметр и площадь Линии Виды линий Прямая линия Луч Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Признаки и свойства параллельных прямых Отрезок Сумма и разность отрезков Ломаная линия Углы Угол Измерение углов Сравнение углов Виды углов Смежные и вертикальные углы Углы при пересечении двух прямых Треугольники Треугольник Виды треугольников Сумма углов Внешние углы Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Периметр и площадь Окружность и круг Окружность Касательная и секущая Касание окружностей Центральный угол Вписанный угол Круг Длина окружности Многоугольники Описание Сумма углов Четырёхугольники Описание и виды Прямоугольник Периметр квадрата, прямоугольника и ромба Площадь прямоугольника и квадрата Параллелограмм Трапеция

Подобные треугольники

• Первый признак подобия треугольников
• Второй признак подобия треугольников
• Третий признак подобия треугольников

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых  ∠A = ∠A₁,  ∠B = ∠B₁,  ∠C = ∠C₁:

Стороны  AB  и  A₁B₁,  BC  и  B₁C₁,  CA  и  C₁A₁,  лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB	=	BC	=	AC	= k,
A1B1		B1C1		A1C1

k  — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если  k = 1,  то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком  ~:  ABC ~ A₁B₁C₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами  S  и  S₁,  то:

S	= k2.
S1

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Если  ∠A = ∠A₁,  ∠C = ∠C₁,

то  ABC ~ A₁B₁C₁.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если	AB	=	AC	,  ∠A = ∠A1,
	A1B1		A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Если	AB	=	BC	=	AC	,
	A1B1		B1C1		A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.