Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Вынесение общего множителя за скобки

• Примеры разложения многочлена на множители

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, равное данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево:

ab + ac = a(b + c).

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

1. Если у каждого члена есть коэффициент, то находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. Обратите внимание, что многочлен в скобках должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения общего множителя за скобки на примере многочлена:

20a²bc² - 10a³c + 15a²b²c.

1. Рассматриваем коэффициенты  20,  10  и  15.  Нам нужно найти для них наибольший общий делитель. Для данных чисел он равен  5.  Число  5  и будет общим множителем для всех коэффициентов.
2. Буквенный множитель  a  есть во всех трёх членах. Возьмём его во второй степени  a²,  так как это его наименьшая степень, встречающаяся в членах многочлена. По такому же принципу возьмём множитель  c.
3. Множитель  b  встречается только в двух членах из трёх, поэтому его мы в общий множить включить не сможем.

В итоге мы получили следующие общие множители:  5,  a²  и  c.  Их произведение  5a²c  представляет наибольший общий множитель, который будет вынесен за скобки:

5a²c( ... ).

Теперь надо вычислить многочлен, который должен быть в скобках. Для этого надо разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель, который мы нашли:

20a2bc2	= 4bc;
5a2c

10a3c	= 2a;
5a2c

15a2b2c	= 3b2.
5a2c

Следовательно:

20a²bc² - 10a³c + 15a²b²c = 5a²c(4bc - 2a + 3b²).

Обратите внимание, что вынесение общего множителя за скобки — это действие, обратное умножению одночлена на многочлен:

5a²c(4bc - 2a + 3b²) = 20a²bc² - 10a³c + 15a²b²c.

Примеры разложения многочлена на множители