Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Многочлены

• Определение
• Подобные члены
• Приведение подобных членов
• Многочлен стандартного вида

Определение

Многочлен или полином — это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например, выражения:

a - b + c,  x² - y²,  5x - 3y - z  — многочлены.

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена. Рассмотрим многочлен:

7a + 2b - 3c - 11;

выражения:  7a,  2b,  -3c  и  -11  — это члены многочлена. Обратите внимание на член  -11,  — он не содержит переменной. Такие члены, состоящие только из числа, называются свободными.

Принято считать, что любой одночлен — это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия — двучлен и трёхчлен соответственно:

7a	—	одночлен;
7a + 2b	—	двучлен;
7a + 2b - 3c	—	трёхчлен.

Подобные члены

Подобные члены — одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом, знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:

3a2b

+

5abc2

+

2a2b

-

7abc2

-

2a2b

члены  3a²b,  2a²b  и  -2a²b,  так же как и члены  5abc²  и  -7abc²  — это подобные члены.

Приведение подобных членов

Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов. Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:

(3a²b + 2a²b - 2a²b) + (5abc² - 7abc²).

Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:

((3 + 2 - 2)a²b) + ((5 - 7)abc²) = (3a²b) + (-2abc²) = 3a²b - 2abc².

Приведение подобных членов – это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.

Многочлен стандартного вида

Многочлен стандартного вида — это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:

3xy + x³ - 2xy - y + 2x³.

Сначала найдём подобные члены:

3xy

+

x3

-

2xy

-

y

+

2x3.

А теперь сделаем приведение:

3xy

+

x3

-

2xy

-

y

+

2x3

=

= xy + 3x³ - y.

Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место — справа.

Например, многочлен

3x + x³ - 2x² - 7

должен быть записан так:

x³ - 2x² + 3x - 7.