Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Логарифмы

• Основное логарифмическое тождество
• Свойства логарифмов

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве  a^x = N  можно сказать, что  x  — это логарифм числа  N  по основанию  a  (где  a > 0   и   a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается  log,  основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны  log.

Если мы знаем, что логарифм числа  N  при основании  a  равен числу  x,  то есть:

log_aN = x,

то это равенство можно написать без знака логарифма

a^x = N,

где  a  — основание степени,  x  — показатель степени,  N  — степень.

Оба равенства:

log_aN = x   и   a^x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a,  x  и  N:  если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами  a,  x  и  N  можно выразить ещё одним равенством:

^x√ N  = a   или   a =^x√ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании  a  (a > 0   и   a ≠ 1)  логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа  N  при таком же основании, как и основание степени, равна числу  N.

a^log_aN = N.

Возьмём логарифм числа  N  при основании  a  равный числу  q

log_aN = q,  значит  a^q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа  q  равное ему выражение  log_aN,  получим

a^log_aN = N.

Выражение  a^log_aN = N  называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0    и    a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

log_a1 = 0,

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна  1:

a⁰ = 1.

Логарифм числа равного основанию равен единице.

log_aa = 1,

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a¹ = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

log_aMN = log_aM + log_aN ,

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

loga	M	= logaM - logaN ,
	N

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

log_a(N^α) = α log_aN ,

где  N > 0.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

logaxN =	logaN	=	1	logaN ,
	x		x

где  N > 0,  x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

logax√ N =	logaN	=	1	logaN .
	x		x

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

logax√ N = logaxN =	1	logaN .
	x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

logaβNα =	α	logaN ,
	β

где  N > 0,  β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

logbN =	logaN	,
	logab

где  N > 0.  Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

log_ba · log_ab = 1.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

log_aN = log_a^xN^x,

где  N > 0,  x ≠ 0.