Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Корень из числа

• Квадратный корень
• Арифметический квадратный корень

Корень  n-ой  степени из числа  a  — это число,  n-ая  степень которого равна  a.  Например, корнем второй степени из  36  будет число  6,  так как:

6² = 36.

Для записи корня используется знак  √    (знак корня  или  радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня:

²√36.

Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если

,

то

.

Эта запись читается так: корень  n-ой  степени из числа  a  равен  x.

Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа  a  называется число, квадрат которого равен  a.

Например, квадратными корнями из числа  16  являются числа  4  и  -4:

²√16 = 4   или   ²√16 = -4.

Рассмотрим уравнение

x² = a

при различных значениях   a:

1. a < 0:
   

   В данном случае уравнение не будет иметь решений, так как квадрат любого числа всегда является положительным числом или нулём. Следовательно,  x²  не может быть равен отрицательному числу.

2. a = 0:
   

   В этом случае уравнение имеет единственное решение:

   x = 0.

3. a > 0:
   

   В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным:

   x = ±√a .

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из положительного числа  a  — это положительное число  x,  квадрат которого равен  a:

²√a = x,   следовательно   x² = a.

При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например:

√a  — квадратный корень из  a.

Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический опускается.

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение арифметического квадратного корня и его проверку на примере. Найдём  √36,  для этого надо найти число, при возведении которого во вторую степень получится  36.  Таким числом является  6,  так как

6² = 36.

Значит,  √36 = 6.  Корень  -6  мы не рассматриваем, потому что арифметический корень является положительным числом.