Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Сумма членов арифметической прогрессии

Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов.

S =	(a1 + an)n	,
	2

где  S  — это сумма всех членов,  a₁  — первый член прогрессии,  a_n  — последний член, а  n  — количество членов в данной прогрессии.

Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:

Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:

3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27,  30; 

то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна  165.  В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:

(3 + 30),  (6 + 27),  (9 + 24),  (12 + 21)  и  (15 + 18);

то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна  33).  Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов — первого и последнего. Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:

(3 + 30) ·	10	=	(3 + 30) · 10	= 165.
	2		2

Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:

S =	(a1 + an) ·	n	=	(a1 + an)n	.
		2		2

Если в формулу для суммы вместо  a_n  вставить равное ему выражение:  a₁ + (n - 1)d,  то получится:

S =	(2a1 + d(n - 1))n	.
	2

По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии.